在數學DSE考試中，指數函數（exponential function）是一個重要的課題。指數函數的一般形式為 f(x) = ax，其中 a 是一個正數常數，x 則是所有實數。

當 a 大於 1 時，函數圖形會呈現遞增的趨勢；而當 a 介於 0 和 1 之間時，函數圖形則會遞減。這種特殊的圖形性質使得指數函數在數學建模和實際應用中具有重要價值。

• 指數函數的基本定義和數學表示
• 不同底數對指數函數圖形的影響
• 指數函數的圖形特性和實際應用例子
• 掌握指數函數的數學運算規則
• 通過具體例子理解指數函數的解題技巧

指數函數是一種特殊的數學函數，其一般形式為 f(x) = aˣ，其中 a 是一個正常數（a > 0, a ≠ 1）。

在指數函數中，底數 a 是固定的常數，而 x 是變量，放在指數位置上。指數函數的定義域為所有實數（即 -∞

根據定義，指數函數具有以下特點：

• 指數函數的一般形式為 f(x) = aˣ，其中 a > 0 且 a ≠ 1。
• 指數函數的定義域為所有實數。
• f(x) = aˣ 的數學意義在於表示底數 a 的 x 次方。

f(x) = aˣ 表示底數 a 的 x 次方，這與冪函數 f(x) = xᵃ 有本質區別。當 a > 0 且 a ≠ 1 時，指數函數具有特定的性質和圖形特徵，是許多自然和社會現象的數學模型。

下表總結了指數函數的主要特性：

了解指數函數的圖形特性對於深入學習數學至關重要。指數函數的圖形特性包括其定義域、值域、圖形的基本特徵以及與座標軸的關係。

指數函數 f(x) = aˣ 的定義域為所有實數，這意味著 x 可以取任何實數值。指數函數的值域為所有正實數，即 f(x) > 0，這表示指數函數的圖形始終位於 x 軸上方。

指數函數圖形的一個重要特徵是必定通過點 (0,1)，因為 a⁰ = 1，無論底數 a 為何。指數函數的圖形為凹口向上的曲線，且以 x 軸為漸近線，意味著當 x 趨向負無窮時，函數值趨近於零。

當底數 a > 1 時，指數函數圖形由左往右逐漸上升；當 0 相關數學章節所述。

• 指數函數的定義域為所有實數，值域為正實數。
• 圖形必過點 (0,1)，且為凹口向上的圖形。
• 以 x 軸為漸近線。
• 當 a > 1 時，圖形由左往右上升；當 0

了解不同底數的指數函數圖像對於掌握指數函數的行為至關重要。通過比較不同底數的指數函數，可以觀察到當底數 a = 1時，指數函數變成常數函數，其圖像是一條平行於 x 軸的水平直線。

當底數介於0和1之間（如 a = 0.5），指數函數的圖像由左至右遞減；而當底數大於1（如 a = 2），圖像則由左至右遞增。這些特性對於理解函數的增長速率至關重要，特別是在實際應用中，如模擬人口增長或放射性衰變等現象。

比較不同底數的指數函數圖像有助於深入理解指數函數的行為和應用。