不等式完全攻略

不等式是數學中表示兩個量之間大小關係的式子，是DSE數學必修課題之一。掌握不等式的解法不僅能提高您的數學成績，還能培養邏輯思維能力。本文將全面講解一元一次、複合、一元二次不等式的解法技巧，並結合DSE考試實例，幫助您輕鬆應對各類不等式問題。

不等式數線圖示與解法示意

本頁內容導覽

不等式是什麼？——基本概念與符號

不等式（Inequality）是數學中用符號「>」、「

基本不等號：

  • 大於（>）：表示左邊的數值大於右邊的數值
  • 小於（表示左邊的數值小於右邊的數值
  • 大於或等於（≥）：表示左邊的數值大於或等於右邊的數值
  • 小於或等於（≤）：表示左邊的數值小於或等於右邊的數值
  • 不等於（≠）：表示兩邊的數值不相等

生活中的不等式例子：

  • 年齡限制：「必須年滿18歲」可以寫成 年齡 ≥ 18
  • 成績要求：「數學分數超過80分」可以寫成 數學分數 > 80
  • 重量限制：「行李重量不超過20公斤」可以寫成 重量 ≤ 20
不等式基本符號與數線表示法

與等式的區別：等式表示兩邊完全相等，而不等式表示兩邊有大小關係。不等式的解通常是一個範圍，而不是單一數值。

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一元一次不等式——解法步驟與數線表示

一元一次不等式是最基本的不等式類型，形式為 ax + b > 0（或

解題基本步驟

  1. 移項：將含有未知數的項移到一邊，常數項移到另一邊
  2. 合併同類項：簡化不等式
  3. 係數化為1：兩邊同時除以未知數的係數
  4. 注意符號方向：當除以負數時，不等號要改變方向

重要提示：不等式兩邊同時乘以或除以負數時，不等號方向必須改變！這是學生最容易犯的錯誤之一。

重要性質

  • 不等式兩邊同時加上或減去同一個數，不等號方向不變
  • 不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號方向不變
  • 不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號方向要改變
一元一次不等式解法流程圖

例題：解不等式 3x - 5 > 7

解：

3x - 5 > 7

3x > 7 + 5　（移項）

3x > 12　（合併同類項）

x > 4　（兩邊除以3）

答案：x > 4

例題：解不等式 -2x + 3 ≤ 9

解：

-2x + 3 ≤ 9

-2x ≤ 9 - 3　（移項）

-2x ≤ 6　（合併同類項）

x ≥ -3　（兩邊除以-2，不等號改變方向）

答案：x ≥ -3

數線表示法

數線表示是視覺化不等式解的重要方法：

  • 開區間（> 或 用空心圓圈表示，表示不包含該點
  • 閉區間（≥ 或 ≤）：用實心圓點表示，表示包含該點
  • 箭頭方向：指向滿足不等式的數值範圍
不等式在數線上的表示方法

複合不等式——「且」「或」邏輯與解題策略

複合不等式是由兩個或多個不等式通過邏輯連詞「且（and）」或「或（or）」連接而成。理解這些邏輯關係對解題至關重要。

「且」的情況（交集）

兩個不等式必須同時成立，解為兩個解集的交集（重疊部分）。

例如：x > 2 且 x

「或」的情況（聯集）

兩個不等式中至少一個成立，解為兩個解集的聯集（所有範圍）。

例如：x 3，解為 x 3

解題小技巧：在解複合不等式時，先分別解出每個不等式，然後在數線上標示各個解集，最後根據「且」或「或」的邏輯關係找出最終解。

複合不等式的數線圖解

例題：「且」的情況

題目：解 2x - 5 > 11 且 -3x

解：

先解第一個不等式：2x - 5 > 11 → 2x > 16 → x > 8

再解第二個不等式：-3x -3（注意不等號方向改變）

「且」表示兩個條件同時成立：x > 8 且 x > -3

答案：x > 8

例題：「或」的情況

題目：解 x + 3 7

解：

先解第一個不等式：x + 3

再解第二個不等式：2x - 1 > 7 → 2x > 8 → x > 4

「或」表示至少一個條件成立：x 4

答案：x 4

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一元二次不等式——代數法與圖解法

一元二次不等式的形式為 ax² + bx + c > 0（或

代數法（因式分解法）

  1. 將一元二次式進行因式分解
  2. 找出使各因子為零的根
  3. 利用符號表或數線分析各區間的正負性
  4. 根據不等號選擇合適的區間

例題：代數法解題

題目：解不等式 x² - x - 12 > 0

解：

步驟1：因式分解 x² - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

步驟2：找根 x = 4 或 x = -3

步驟3：分析各區間的符號：

  • x 0
  • -3 0
  • x > 4：(+)(+) = (+)，滿足 > 0

答案：x 4

圖解法

  1. 畫出一元二次函數的圖像（拋物線）
  2. 找出與x軸的交點（根）
  3. 根據不等號選擇x軸上方或下方的區間
一元二次不等式的圖解法

例題：圖解法解題

題目：解不等式 -x² + 2x + 3 ≥ 0

解：

步驟1：因式分解 -x² + 2x + 3 = -(x² - 2x - 3) = -(x - 3)(x + 1)

步驟2：找根 x = 3 或 x = -1

步驟3：由於a = -1

步驟4：≥ 0 表示選擇x軸上方（包含x軸）的部分

答案：-1 ≤ x ≤ 3

「向內」與「向外」的判斷

開口向上的拋物線（a > 0）

  • f(x) > 0：選擇拋物線在x軸「上方」的部分（向外）
  • f(x) 選擇拋物線在x軸「下方」的部分（向內）

開口向下的拋物線（a
  • f(x) > 0：選擇拋物線在x軸「上方」的部分（向內）
  • f(x) 選擇拋物線在x軸「下方」的部分（向外）

一元二次不等式的「向內」與「向外」判斷

不等式性質——運算規則與注意事項

加法性質

如果 a > b，那麼 a + c > b + c

不等式兩邊同時加上或減去同一個數，不等號方向不變。

乘法性質（正數）

如果 a > b 且 c > 0，那麼 ac > bc

不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號方向不變。

乘法性質（負數）

如果 a > b 且 c

不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號方向要改變。

傳遞性

如果 a > b 且 b > c，那麼 a > c

不等關係具有傳遞性，可以進行連鎖推理。

倒數性質

如果 a > b > 0，那麼 1/a

對於正數，取倒數會改變不等號方向。

平方性質

如果 a > b ≥ 0，那麼 a² > b²

對於非負數，平方運算保持不等號方向。

常見錯誤與注意事項

❌ 忘記改變不等號方向

當兩邊同時乘以或除以負數時，必須改變不等號方向。

錯誤：-2x > 6 → x > -3

正確：-2x > 6 → x

❌ 混淆開閉區間

注意區分 > 和 ≥ 的差別，影響數線上的表示方法。

x > 2：用空心圓圈，不包含2

x ≥ 2：用實心圓點，包含2

❌ 複合不等式邏輯錯誤

正確理解「且」和「或」的邏輯關係。

「且」：取交集（重疊部分）

「或」：取聯集（所有範圍）

不等式常見錯誤與正確解法對比

DSE數學中的不等式——考試技巧與例題

不等式是DSE數學（必修部分）的重要課題，經常出現在考試中。掌握以下技巧和例題，能幫助你在考試中取得好成績。

DSE考試中的不等式題型

  1. 一元一次不等式的基本解法
  2. 複合不等式的邏輯推理
  3. 一元二次不等式的圖解法和代數法
  4. 不等式在實際問題中的應用
  5. 與函數圖像結合的綜合題

考試解題技巧

  • 仔細閱讀題目：確認不等號的方向和是否包含等號
  • 選擇合適方法：根據題目特點選擇代數法或圖解法
  • 檢查答案：將解代入原不等式驗證
  • 注意特殊情況：如無解、恆成立等情況

GETUTOR專家提示：在DSE考試中，不等式題目經常與實際應用場景結合，如利潤最大化、成本最小化等問題。掌握不等式與函數的關係，能幫助你更好地解決這類題目。

DSE數學考試中的不等式題型

DSE風格例題

例題：某商店的月銷售額y（萬元）與廣告費用x（萬元）的關係可以用函數 y = -x² + 8x + 20 表示，其中 0 ≤ x ≤ 10。

(a) 求廣告費用為多少時，月銷售額最大？

(b) 若要使月銷售額超過35萬元，廣告費用的範圍是多少？

解答：

(a) y = -x² + 8x + 20 = -(x² - 8x) + 20 = -(x - 4)² + 16 + 20 = -(x - 4)² + 36

當 x = 4 時，y 有最大值 36 萬元。

(b) 要使 y > 35，即 -x² + 8x + 20 > 35

-x² + 8x + 20 - 35 > 0

-x² + 8x - 15 > 0

x² - 8x + 15

(x - 3)(x - 5)

因此 3

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時間管理建議

不等式類型 建議解題時間 解題要點
一元一次不等式 1-2分鐘 注意移項和係數處理，特別是負數情況
複合不等式 3-4分鐘 分清「且」和「或」的邏輯關係，正確取交集或聯集
一元二次不等式 4-6分鐘 熟練掌握因式分解，注意「向內」和「向外」的判斷
應用題 6-8分鐘 建立正確的數學模型，結合實際情境解釋答案

練習題與解析——鞏固所學知識

通過以下練習題測試您對不等式的理解：

練習題1

題目：解不等式 3(x - 2) - 2(x + 1) > x - 8

查看解答

3(x - 2) - 2(x + 1) > x - 8

3x - 6 - 2x - 2 > x - 8

x - 8 > x - 8

0 > 0

這是矛盾，所以原不等式無解。

練習題2

題目：解複合不等式 -1 ≤ 2x + 3

查看解答

-1 ≤ 2x + 3

分解為兩個不等式：

-1 ≤ 2x + 3 且 2x + 3

解第一個：-1 ≤ 2x + 3 → -4 ≤ 2x → x ≥ -2

解第二個：2x + 3

答案：-2 ≤ x

練習題3

題目：解一元二次不等式 x² - 5x + 6 ≤ 0

查看解答

x² - 5x + 6 ≤ 0

因式分解：(x - 2)(x - 3) ≤ 0

根為 x = 2 和 x = 3

分析各區間：

x 0，不滿足

2 ≤ x ≤ 3：(-)(+) = (-)

x > 3：(+)(+) = (+) > 0，不滿足

答案：2 ≤ x ≤ 3

不等式練習題解析與數線表示

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計算器使用技巧——快速解決不等式問題

在DSE考試中，熟練使用計算器可以提高解題效率，特別是處理複雜的一元二次不等式。

CASIO fx-50FH II / fx-991EX

  1. 按 [MODE] → [5] (EQN) → [2] (ax²+bx+c=0)
  2. 依次輸入係數 a、b、c
  3. 按 [=] 得到兩個根
  4. 利用根來分析不等式的解
CASIO計算器解不等式步驟

TI-84 Plus

  1. 按 [Y=] 輸入函數
  2. 按 [GRAPH] 查看圖像
  3. 使用 [2nd] [CALC] 找零點
  4. 根據圖像判斷不等式的解
TI-84計算器解不等式步驟

計算器使用小貼士

  • 熟練掌握基本操作，節省考試時間
  • 利用圖形功能直觀理解不等式的解
  • 使用表格功能驗證解的正確性
  • 注意計算器的精度限制，必要時進行手工驗證

總結——不等式解法的關鍵要點

不等式是數學中的重要概念，也是DSE考試的必考內容。通過本文的學習，您應該已經掌握了：

  • 不等式的基本概念和符號
  • 一元一次不等式的解法步驟
  • 複合不等式的「且」「或」邏輯關係
  • 一元二次不等式的代數法和圖解法
  • 不等式的重要性質和運算規則
  • DSE考試中的不等式題型和解題技巧

持續練習是掌握不等式解法的關鍵。建議您多做練習題，並嘗試將所學知識應用到實際問題中。

不等式解法總結與應用

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