掌握Circumcentre (外心) - DSE數學完全指南
三角形外心(Circumcentre)是DSE數學考試中的重要概念，也是許多學生感到困惑的幾何學題目。無論你是正在準備DSE考試，還是想深入理解幾何學原理，本指南將幫助你全面掌握外心的定義、性質及計算方法。我們提供互動式學習工具、逐步解題示範和實用考試技巧，讓你輕鬆應對DSE數學中的外心問題。
圖1: 三角形外心是三條垂直平分線的交點，也是外接圓的圓心
外心(Circumcentre)的基本定義與性質
外心是三角形幾何學中的四個重要中心之一（另外三個是形心、內心和垂心）。理解外心的基本定義和性質是解決相關問題的關鍵。
外心的定義
三角形的外心(Circumcentre)是三角形三邊的垂直平分線(Perpendicular Bisector)的交點。這個點也是三角形外接圓(Circumcircle)的圓心，因此得名「外心」。
圖2: 外心是三邊垂直平分線的交點
外心的基本性質
- 外心到三角形三個頂點的距離相等（等於外接圓半徑）
- 鈍角三角形的外心位於三角形外部
- 直角三角形的外心位於斜邊的中點
- 銳角三角形的外心位於三角形內部
- 等邊三角形的外心與內心重合
圖3: 不同類型三角形的外心位置
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求外心(Circumcentre)坐標的方法
在DSE數學考試中，計算三角形外心坐標是常見題型。以下介紹三種主要的解題方法，適用於不同情況。
方法一：垂直平分線方程聯立法
這是最基本也是最通用的方法，適用於任何三角形。步驟如下：
- 求出三角形任意兩邊的垂直平分線方程
- 聯立這兩條垂直平分線方程，求出交點
- 該交點即為三角形的外心
圖4: 垂直平分線方程聯立法求外心步驟
例題：求三角形ABC的外心坐標，其中A(1,1), B(6,3), C(4,5)
Step 1: 求AB的垂直平分線方程
AB中點 = ((1+6)/2, (1+3)/2) = (3.5, 2)
AB斜率 = (3-1)/(6-1) = 2/5
垂直平分線斜率 = -5/2
垂直平分線方程：y-2 = (-5/2)(x-3.5)
整理得：10x+4y=43
Step 2: 求AC的垂直平分線方程
AC中點 = ((1+4)/2, (1+5)/2) = (2.5, 3)
AC斜率 = (5-1)/(4-1) = 4/3
垂直平分線斜率 = -3/4
垂直平分線方程：y-3 = (-3/4)(x-2.5)
整理得：3x+4y=22
Step 3: 聯立方程求解
10x+4y=43
3x+4y=22
解得：x=3, y=3.25
因此，三角形ABC的外心坐標為(3, 3.25)
方法二：特殊情況解法
當三角形有特殊性質時，可以使用更簡便的方法：
直角三角形
直角三角形的外心位於斜邊的中點。如果三角形ABC在C點有直角，則外心就是AB的中點。
圖5: 直角三角形的外心位於斜邊中點
等邊三角形
等邊三角形的外心與內心、形心重合，位於三角形的中心，到三個頂點距離相等。
圖6: 等邊三角形的外心與內心、形心重合
方法三：向量法
對於複雜的問題，向量法提供了一種強大的解決方案：
如果三角形ABC的頂點坐標已知，可以使用以下向量公式求外心：
設P為平面上任意一點，G為外心，則：
向量PG = [(tanB+tanC)向量PA + (tanC+tanA)向量PB + (tanA+tanB)向量PC] / [2(tanA+tanB+tanC)]
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DSE數學考試中的外心(Circumcentre)題型
在DSE數學考試中，外心相關題目主要出現在Paper 1 Part B部分，通常與坐標幾何和三角形性質相結合。掌握以下考試技巧，助你在DSE中取得佳績。
圖7: DSE數學試卷中的外心題目示例
常見題型分析
| 題型類別 | 題目特點 | 解題關鍵 | 分數分配 |
| 坐標計算型 | 給出三角形三個頂點坐標，求外心坐標 | 垂直平分線方程聯立 | 4-5分 |
| 性質應用型 | 利用外心性質解決幾何問題 | 外心到三頂點距離相等 | 3-4分 |
| 四心關係型 | 探討外心與其他三心的關係 | 歐拉線和四心性質 | 6-7分 |
| 證明題 | 證明與外心相關的幾何性質 | 垂直平分線性質和圓的性質 | 5-6分 |
計算機程式使用技巧
圖8: CASIO計算機輸入外心程式步驟
CASIO fx-50FH II 外心程式碼
Mode 6 → 1 → Mode 2 (Complex Mode)
?→A:?→B:?→C:A+B+C→M:M÷3」(B—C)÷(A—C→D÷C—i(A—B)tan(arg(iDM—」.5M」Abs(B—C)+Abs(A—C)—Abs(A—B:Ans—ixAnsxtan(.5arg(D:C+Ans(.5ㄥarg(B—C
注意：此公式中的 — 是減號、x 是乘號。程式位數：95
答題時間管理
手算法時間分配
- 分析題目要求：30秒
- 寫出垂直平分線方程：2分鐘
- 聯立方程求解：1分30秒
- 檢查答案：30秒
- 總計時間：約4-5分鐘
計算機程式法時間分配
- 輸入三個頂點坐標：30秒
- 執行程式：10秒
- 記錄結果：20秒
- 總計時間：約1分鐘
圖9: DSE考試中解答外心題目的時間管理策略
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互動學習：外心(Circumcentre)可視化工具
理解抽象的幾何概念需要直觀的視覺輔助。我們提供以下互動工具，幫助你更好地理解外心的性質和變化。
圖10: 外心互動學習工具界面
動態三角形探索器
通過拖動三角形頂點，觀察外心位置的變化。特別注意當三角形從銳角變為鈍角時，外心如何從三角形內部移動到外部。
- 實時顯示外心坐標
- 自動計算外接圓半徑
- 顯示垂直平分線構造過程
- 提供特殊三角形預設（直角、等邊等）
3D外心可視化
探索三維空間中的外心概念，了解外接球體與平面三角形外接圓的關係，拓展你的空間幾何思維。
- 3D四面體的外接球體
- 可旋轉和縮放的3D模型
- 截面分析工具
- 多角度觀察視圖
圖11: 3D外心可視化 - 四面體的外接球體
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總結：掌握外心(Circumcentre)，提升DSE數學成績
外心是三角形幾何中的重要概念，也是DSE數學考試的常考點。通過本指南的學習，你應該已經掌握了外心的定義、性質、計算方法以及在DSE考試中的應用技巧。
記住，理解幾何概念不僅僅是記憶公式，更重要的是培養空間思維能力和幾何直覺。通過我們提供的互動工具和練習題，持續鞏固所學知識，相信你在DSE數學考試中一定能取得優異成績！
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