長除法完整教學

長除法是數學中處理除法運算的重要算法，特別適用於多位數除法和多項式除法。掌握長除法的計算步驟與技巧，不僅能提升數學運算能力，更能輕鬆應對DSE數學考試的挑戰。本教學將系統性地介紹長除法的基本概念、計算方法和應用技巧，幫助你全面掌握這一重要的數學工具。

基本概念——長除法定義與原理

長除法（Long Division），又稱直式除法，是數學中處理除法運算的重要算法，特別適用於多位數除法和多項式除法。這種計算方法通過系統性的步驟，將複雜的除法問題分解為更簡單的運算。

長除法的基本原理

長除法基於以下基本關係式：

被除數 = 除數 × 商數 + 餘數

在長除法中，我們通過以下步驟來解決除法問題：

將複雜的除法分解為多個簡單的減法和乘法步驟
從最高位開始，逐位進行除法運算
每步的餘數成為下一步被除數的一部分
重複這個過程直到完成整個計算

長除法的應用範圍

整數除法：處理多位數的除法運算
小數除法：計算小數點後的數位
多項式除法：代數式的除法運算
歐幾里德除法：求最大公因數的算法基礎

長除法的優勢

系統性強：步驟清晰，易於掌握
適用性廣：可處理各種類型的除法
準確性高：減少計算錯誤的可能性
教學價值：有助於理解除法的本質

算術長除法——整數與小數除法

整數長除法

整數長除法是最基本的長除法形式，用於處理多位數的除法運算。

例題：計算 1260257 ÷ 37

計算步驟：

看被除數的前兩位數字12，因為12
126 ÷ 37 = 3 餘 15（因為37 × 3 = 111，126 - 111 = 15）
將下一位數字0帶下來，得到150
150 ÷ 37 = 4 餘 2（因為37 × 4 = 148，150 - 148 = 2）
繼續這個過程直到所有數字都被處理完畢

最終答案：1260257 ÷ 37 = 34061 餘 0

小數長除法

小數長除法用於處理含有小數的除法運算，計算方法與整數長除法相似。

例題：計算 15.75 ÷ 2.5

計算步驟：

將除數2.5乘以10變成25，被除數15.75也要乘以10變成157.5
按整數長除法進行：157.5 ÷ 25
25 × 6 = 150，157.5 - 150 = 7.5
7.5 ÷ 25 = 0.3
最終答案：15.75 ÷ 2.5 = 6.3

小數長除法技巧：將除數和被除數同時乘以相同的10的冪次，使除數變為整數，然後按整數長除法計算。

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多項式長除法——代數運算技巧

多項式長除法是將一個多項式除以另一個多項式的方法，遵循與算術長除法相同的原理。這是代數中的重要運算，特別是在處理有理函數、因式分解和解方程時。

多項式長除法基本概念

基本公式：被除式 = 除式 × 商式 + 餘式

重要注意事項：

多項式必須按降冪排列（從最高次項到最低次項）
缺項必須補零（例如：x³ + 2x + 1 應寫成 x³ + 0x² + 2x + 1）
餘式的次數必須小於除式的次數
每一步都要消除被除式的最高次項

詳細例題：(4x⁴ + 7x² - 3x + 5) ÷ (x² + 2x - 3)

步驟1：設置除法格式並補零

被除式：4x⁴ + 0x³ + 7x² - 3x + 5

除式：x² + 2x - 3

步驟2：第一次除法

4x⁴ ÷ x² = 4x²

計算：4x² × (x² + 2x - 3) = 4x⁴ + 8x³ - 12x²

相減：(4x⁴ + 0x³ + 7x²) - (4x⁴ + 8x³ - 12x²) = -8x³ + 19x²

步驟3：第二次除法

-8x³ ÷ x² = -8x

計算：-8x × (x² + 2x - 3) = -8x³ - 16x² + 24x

相減：(-8x³ + 19x² - 3x) - (-8x³ - 16x² + 24x) = 35x² - 27x

步驟4：第三次除法

35x² ÷ x² = 35

計算：35 × (x² + 2x - 3) = 35x² + 70x - 105

相減：(35x² - 27x + 5) - (35x² + 70x - 105) = -97x + 110

步驟5：確定最終答案

由於餘式-97x + 110的次數（1次）小於除式x² + 2x - 3的次數（2次），除法結束。

最終答案：

商式：4x² - 8x + 35

餘式：-97x + 110

驗證：(x² + 2x - 3)(4x² - 8x + 35) + (-97x + 110) = 4x⁴ + 7x² - 3x + 5 ✓

計算步驟——詳細解題流程

準備階段

將被除數和除數按降冪排列
補齊缺項（用0係數表示）
設置標準的長除法格式

計算階段

用被除數的首項除以除數的首項
將商乘以整個除數
用被除數減去乘法的結果
重複以上步驟直到餘式次數小於除數

驗證階段

檢查餘式的次數是否小於除數
使用公式：被除數 = 除數 × 商 + 餘數
代入計算結果進行驗證
確認計算的正確性

計算技巧與要點

符號處理

注意正負號的變化
減法時要改變所有項的符號
保持符號的一致性

對齊原則

同次項要對齊
保持整齊的格式
便於檢查和計算

檢查方法

每步計算後立即檢查
使用驗證公式
注意餘數的次數限制

專業提示：在進行多項式長除法時，使用不同顏色的筆標記不同步驟，可以大大減少計算錯誤。

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常見錯誤——避免計算陷阱

在進行長除法計算時，學生常常會犯一些典型錯誤。了解這些錯誤並學會避免它們，是提高計算準確性的關鍵。

格式錯誤

❌ 錯誤：忘記補零

將 x³ + 2x + 1 直接寫成除法格式，沒有補上 0x² 項。

✅ 正確：完整格式

應該寫成 x³ + 0x² + 2x + 1，確保所有次項都有對應位置。

計算錯誤

❌ 錯誤：符號處理錯誤

在減法步驟中忘記改變符號，或者符號處理不一致。

✅ 正確：仔細處理符號

減法時要將被減數的每一項都改變符號，然後進行加法。

概念錯誤

❌ 錯誤：餘數次數過高

繼續除法運算，即使餘數的次數已經小於除數的次數。

✅ 正確：及時停止

當餘數的次數小於除數的次數時，除法結束。

錯誤預防策略

系統性檢查

每完成一步立即檢查
確認符號和次數的正確性
保持計算格式的整齊

多重驗證

使用驗證公式檢查答案
重新計算關鍵步驟
檢查餘數的次數限制

練習強化

多做不同類型的練習題
熟悉常見的計算模式
培養良好的計算習慣

記住：在多項式長除法中，缺項補零是最容易被忽略的步驟，但卻是避免計算錯誤的關鍵。

DSE應用——考試技巧與題型

在DSE數學考試中，長除法主要出現在以下單元：

續多項式（More about Polynomials）：多項式長除法是核心內容
函數與圖像：有理函數的化簡需要用到多項式除法
數列與級數：部分分式分解的預備知識
微積分：有理函數積分的預處理

考試策略與技巧

時間管理

多項式除法通常需要3-5分鐘
先快速估算答案的合理性
預留時間進行驗證
如果計算複雜，考慮其他方法

計算技巧

保持格式整齊，便於檢查
每步計算後立即驗證
注意符號的正確處理
善用因式分解簡化計算

答題格式

清楚標示商式和餘式
寫出完整的驗證過程
使用標準的數學符號
保持答案的簡潔明確

DSE歷年真題示例

2023年DSE數學卷一

題目：設f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1，g(x) = x - 2。

(a) 求f(x) ÷ g(x)的商式和餘式。

(b) 利用(a)的結果，求f(2)的值。

解答：

(a) 商式：2x² - x + 1，餘式：1

(b) f(2) = 1（利用餘數定理）

2022年DSE數學卷一

題目：已知多項式P(x)除以(x² - 1)的餘式為3x + 2。

(a) 求P(1)和P(-1)的值。

(b) 若P(x) = x³ + ax² + bx + c，求a、b、c的一個關係式。